Convergent Cross Mapping (CCM)

決定論的な力学系から生じた時系列においては、

逆に原因から結果の類推は不正確

例) 以下の式で表される２つの時系列X,Yの関係性を知りたいとする(解析者はこの式を知らない)

$ X_t=f(X_{t-1})

$ Y_t = g(X_{t-1},Y_{t-1})

XのデータからYのデータ(原因から結果)を予測しようとすると上手くいかない

YのデータからXのデータ(結果から原因)を予測しようとすると上手くいく

これを利用して因果関係の有無を判定する

例) 時系列X, Yがあったとき、

Xから類推した時系列Yと実際の時系列Yは無相関

Yから類推した時系列Xと実際の時系列Xが正の相関を持つ(結果:Y→原因:Xの類推)

しかし、実際にはその系に関与している全ての変数を記録することはできない

時間遅れのベクトルを利用した埋め込み(embedding)を行うことで1変数からでも系の動態再構成出来る

なぜ再構成出来るかは、

時系列Xが時系列Yに影響を与えている場合を考える、

異なる時間帯(m － (E － 1)τ から m, n － (E － 1)τ から n)において時系列Yの変化パターンが類似しているとする

このとき、同じ時間帯のXの変化パターンも類似しているはずである(結果:Y→原因:Xの類推)

これを時間遅れのベクトルで作ったアトラクタ上で考えてみる

$ x(t) = (X_t, X_{t-τ},X_{t-2τ},...,X_{t-(E-1)τ})

$ y(t) = (Y_t, Y_{t-τ},Y_{t-2τ},...,Y_{t-(E-1)τ})

τ：時間遅れ

E：埋め込み次元(embedding dimension)

一方で、時系列Yが時系列Xに影響していない場合は逆が成り立たない

手順

時系列YからXへの因果を調べたい

埋め込み(embedding)

因果関係を推定したい時系列データから埋め込みを行ったアトラクタを作成する

このときの時間遅れベクトルは、

$ x(t) = (X_t, X_{t-τ},X_{t-2τ},...,X_{t-(E-1)τ})

τ：時間遅れ

E：埋め込み次元(embedding dimension)

Cross mapping

$ x(t)=\sum_{i=1}^{E+1} w_{t,i}x_{t_i}

$ \hat y(t)=\sum_{i=1}^{E+1} w_{t,i}y_{t_i}

相関だったり、最小二乗誤差などで類似度を調べる

convergence

疑似相関による類似なのか、因果関係によるものなのかを調べたい

テストに使うデータ数を変化増やしたときに、予測が改善していくかどうかを調べる

https://youtu.be/NrFdIz-D2yM

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